Le quinzième et dernier pavage pentagonal du plan ...
ou "Quand un petit pavé peut en cacher d'autres ..."

Un autre regard sur sa structure, et la découverte de deux ossatures qui invitent à le voir d'un autre point de vue, les trois pavages ayant les mêmes éléments de symétrie.

New penta 000p

2020 Construction 3c

2019 New penta 001a

Le quinzième pavage pentagonal du plan sous trois aspects.

Penta 1500r

NewPenta04z

Penta 1500rfinNB

Les deux images suivantes du pavage montrent des éléments intermédiaires (demi-hexagones, carrés, triangles isocèles) utiles à la construction du pavé.

NewFond3Gris0

Pavage3c

On commencera par donner quelques propriétés intéressantes du pavé Penta15, puis on choisira des blocs de trois pavés, issus de l'un d'entre eux par symétries orthogonales, on présentera aussi leurs propriétés et leurs modes d'assemblage.

On confrontera ensuite le pavage pentagonal du plan à une grille de rosaces (hexagones, carrés, triangles équilatéraux) en constatant de nombreuses coïncidences dans les essais de superposition, avant de modifier cette grille, en utilisant des rosaces tronquées, et de pouvoir conclure que la grille obtenue de type "pavage islamique" est bien ossature du pavage "Penta15".

2019 New penta 0p1a

Bloc01

La grille des rosaces tronquées

La superposition avec le pavage et la mise en évidence de certaines zones.

macroGrilleIslamique Penta15 demo2

2020 Pavage15 d

2020 Penta15 GrilleRosaceTronquee

2020 Penta 15GrilleRosacesFrontieresZones

Un autre type de pavage est apparu, avec un hexagone que j'appelle Hexa15, constitué de deux quadrilatères "Quadri15" symétriques orthogonaux par rapport au "grand" côté, ceux que vous voyez ci-dessus à gauche sont, eux, symétriques par rapport au milieu du "grand" côté.
cet Hexa15  a de bonnes propriétés, tout en n'étant pas régulier (trois axes et trois rotations, tous les côtés isométriques, des angles égaux à 90° ou 150°). Là encore le pavage avec les Hexa15 ou/et Quadri15 a les mêmes éléments de symétrie que le pavage pentagonal "Penta15".

A la recherche d'un pavage à partir de pavés "Hexa15" obtenus par symétries (axiales ou centrales) depuis l'un d'eux.

RosacesEtPavages Hexa15b

Blocs Et Hexa15 15

Si le pavage de gauche ne convient pas, celui de droite est une bonne solution. Constatez enfin la bonne superposition dans les deux figures suivantes sur fond de pavage "Penta15"

PavageHexaQuadri15 1

PavageHexaQuadri15 4fbz

Hexa15andOssaturePenta15 fond1

Hexa15andOssaturePenta15 fond2

On peut même varier le choix des pavés dans des zones adjacentes avec des jonctions parfaites, les frontières étant des lignes brisées liées aux angles 90°, 150° et 135° qui jouent un grand rôle dans cette étude.

2020 Penta 15GrilleRosacesFrontieresZonesDir

Site provisoire, en cours de réalisation, donnant un résumé de l'étude entreprise en 2017 et en cours d'achèvement à ce jour (Octobre 2020) pour la semaine des Mathématiques.
L'étude complète est sur mon site "eNetEtMaths" chez Free, accessible en cliquant sur le lien suivant Etude sur le 15° pavage pentagonal du plan par Pierre Crespin où l'on trouvera aussi deux résumés complémentaires.

Pierre Crespin, ancien professeur de Mathématiques.

Compléments en Juillet 2021

Après avoir trouvé deux pavages originaux ayant les mêmes éléments de symétrie que le pavage pentagonal  "Penta 15", je me suis intéressé à divers blocs de pavés dont les pavages ont cette proriété. Vous trouverez ces pavés et , ou non, leur pavage dans les images suivantes. Certains sont issus de la première étude, d'autres sont déterminés ici en poursuivant cette recherche. Dans tous les cas ce sont des blocs-pavés réversibles, les deux faces (recto ou verso) sont utilisées.

BlocsEtPavagePenta15TB10Pavages

BlocsPenta15EtSymGlissee

BlocsEtPavagePenta15TB10BlocsEt10Pavages bis

2020 MotifsRosacesB

Enfin cette recherche aboutit à la découverte d'un bloc hexagone qui pave donc le plan, ce qui n'est pas le cas d'un hexagone quelconque. De plus cet hexagone (appelé Bloc10) pave le plan d'une infinité de façons, et il est formé d'un assemblage autour d'un triangle équilatéral, de triangles assez particuliers qui font que tous les angles multiples de 15° depuis 15° jusqu'à 150° sont présents dans la figure.

Bloc10EtAngles15

2021 ProprietesBloc10AndCOc

Bloc10Proprietes2Newb

Bloc10EtSonPavage15

Bloc10EtPavage2

Bloc10EtPenta15 3el

L'hexagone HexaBloc10 précédent qui pave le plan avec un pavage ayant les mêmes éléments de symétries ( translations et leurs vecteurs, symétries et leurs centres, symétries glissées et leurs axes et vecteurs) est une déformation du bon hexagone régulier (la tomette) , déformation assez simple présentée ci-dessous, et le pavage associé est aussi une déformation du pavage hexagonal régulier , ce qui me parait être une propriété assez remarquable même si d'autres hexagones possèdent cette propriété.

Hexas10versRegPlus15V00R

Hexas10versRegPlus15V15

HexaRegEtAutresHexa

Hexas1015RegTypeB10

Enfin l'étude s'est intrinsèquement complétée de recherches de pavages, avec d'autres hexagones, d'études annexes avec d'autres pentagones parmi ceux déjà bien connus (par exemple parmi les pavés de Marjorie Rice), ou avec des pavés rencontrés, qui ne pavent pas le plan, mais le font avec l'aide d'autres pour boucher les vides, ces derniers étant eux aussi assez intéressants.

MarjorieRice 00 Pavage

Hexag90150TriEqu2Paves

Hexas1015RegRosace3new

2021 NewBloc10Hexa15new

PavageHexag06SurTriEqbis

CarresOctoZigZag

CarresTriEqEtHexa15bb

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